ตรรกศาสตร์
คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น“ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์
คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์
การใช้เหตุผล
ประพจน์ (Proposition)
ประพจน์ คือ
ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์
สุนัขมี
4 ขา (จริง)
7 × 5 = 5+ 7 ( เท็จ )
ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์
ช่วยหยิบหนังสือเล่มนั้นให้หน่อยค่ะ
(ขอร้อง)
ประโยคเปิด
(Open sentence)
บทนิยาม ประโยคเปิดคือ
ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง
ตัวอย่างประโยคเปิด
1. x + 3 =21
2. y < - 3
ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
3 เป็นคำตอบของสมการ
X-3 =9
ตัวเชื่อม (connective)
1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย P Ù Qแต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth
value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริงP Ù Q
โดยตารางแสดงค่าความจริง (truth table) ดั้งนี้
P
|
Q
|
P Ù Q
|
T
T
F
F
|
T
F
T
F
|
T
F
F
F
|
ตัวอย่าง 5+1 = 6 Ù 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
5+1
= 6 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
5+1 = 1 Ù 2 น้อยกว่า 3 (เท็จ)
2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P
V Q
จะเป็นเท็จ
ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง
เรา
ให้นิยามค่าความจริงของ P
V Q
ตัวอย่างตารางค่าความจริง
ดังนี้
P
|
Q
|
P
V Q
|
T
T
F
F
|
T
F
T
F
|
T
T
T
F
|
ตัวอย่าง 5
+ 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)
5
+ 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วยP®Q
นิยามค่าความจริงของ P®Q โดยแสดงตารางค่าความจริงดังนี้
P
|
Q
|
P®Q
|
T
T
F
F
|
T
F
T
F
|
T
F
T
T
|
ตัวอย่าง 1 < 2 ® 2 < 3 (จริง)
1
< 2 ® 3
< 2 (เท็จ)
2
< 1 ® 2
< 3 (จริง)
2 < 1 ® 3 < 2 (จริง)
4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วย P«Q
นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q
P
|
Q
|
P«Q
|
T
T
F
F
|
T
F
T
F
|
T
F
F
T
|
ตัวอย่าง 1
< 2 « 2
< 3 (จริง)
1 < 2 « 3
< 2 (เท็จ)
2 < 1 « 2 < 3 (จริง)
2 < 1 « 3
< 2 (เท็จ)
5. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ Pด้วย ~P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกัน P
ตารางแสดงค่าความจริงดั้งนี้
ตัวอย่าง ถ้า p แทนประโยคว่า "วันนี้เป็นวันหยุด" นิเสธของ p หรือ ~p คือประโยคที่ว่า "วันนี้ไม่เป็นวันหยุด"
สัจนิรันดร์ (Tautology) และความขัดแย้ง (Contradiction)
1. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์
เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology
statement)ตัวอย่างที่ 1 P® PvQเป็นสัจนิรันดร์ เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี
P
|
Q
|
P v Q
|
P® PvQ
|
T
T
F
F
|
T
T
T
F
|
T
T
T
F
|
T
T
T
T
|
จากตารางแสดงค่าความจริงไม่ว่า P และ Q จะเป็นจริงหรือเท็จก็ตาม ประพจน์ P® PvQ เป็นจริงเสมอ
ดังนั้นประพจน์นี้เป็น สัจนิรันดร์
2.ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ
รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ
เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradicithon statement)
ตัวอย่าง P ^ ~P เป็น ความขัดแย้ง ตารางแสดงค่าความจริง
P ^ ~P มีค่าเป็นเท็จ สำหรับทุกๆ ค่าความจริงของ P
ดังนั้น P ^ ~P จึงเป็นความขัดแย้ง (Contradicithon )
ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical
Equivalences)
ทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้สำหรับใช้อ้างอิง กำหนดให้ p
, q , r แทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนิรันดร์ c แทนความขัดแย้ง
1. กฎการสลับที่ (Commutative
laws)
p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p
2. กฎการเปลี่ยนหมู่
(Associative laws)
(p
^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v
r = p v (q ^ r)
3. กฎการแจกแจง
(Distributive laws)
p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p
^ r) ,
p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p
v r)
4. กฎเอกลักษณ์
(Identity laws)
p v t = t , p ^ t = p
5. กฎนิเสธ
(Negative laws)
p v ~p = t , p ^ ~ p = c
6.กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double
negative laws)
~(~p) = p
7. กฎนิจพล
(Idempotent laws)
p ^p = p , p = p
8. กฎของเดอมอเกน
(demerger’s laws)
~(p ^q) =
~p v ~q , ~(p v q) =
~p v ~q
9. กฎการจำกัดขอบข่าย
(Universal bound laws)
p v t = t ,
p ^ c = c
10. กฎการซึมซับ
(Absorption laws)
p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) =
p
11. นิเสธของ c และ t
~t = c , ~c=t
ตัวบ่งปริมาณ(Quantified statement)
ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์ มี 2 ชนิด คือ
1) ตัวบ่งปริมาณ "ทั้งหมด" หมายถึงทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการพิจารณาในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกับ
"ทั้งหมด" ได้ ได้แก่ "ทุก" "ทุก ๆ" "แต่ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เช่น คนทุกคนต้องตาย, คนทุก ๆ คนต้องตาย, คนแต่ละคนต้องตาย, ใคร ๆ ก็ต้องตาย
2) ตัวบ่งปริมาณ "บาง" หมายถึงบางส่วนหรือบางสิ่งบางอย่างที่ต้องการพิจารณา
ในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกันได้ ได้แก่ "บางอย่าง" "มีอย่างน้อยหนึ่ง"
เช่น สัตว์มีกระดูกสันหลังบางชนิดออกลูกเป็นไข่, มีสัตว์มีกระดูกสันหลังอย่างน้อยหนึ่งชนิดที่ออกลูกเป็นไข่
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
1.∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง
เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
4.∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
การให้เหตุผล (Reasoning)
โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตุผลมี 2
ลักษณะคือ
1.การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุ โดยนำข้อความที่กำหนดให้ ซึ่งต้องยอมรับว่าเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่า เหตุ
และข้อความจริงใหม่ที่ได้เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า
พบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ แสดงว่า
การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล
แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล
ตัวอย่าง เหตุ 1. คนทุกคนต้องหายใจ
2 . นีน่าต้องหายใจ
ผลสรุป นีน่าต้องหายใจ
จะเห็นว่า จากเหตุที่1 และเหตุที่ 2 บังคับให้เกิดผลสรุปดังนั้นการให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผลสมเหตุสมผล
2.การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอย่าง
มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือ คำพยากรณ์และจะต้องมีข้อสังเกต หรือ
ผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากพอที่จะปักใจเชื่อได้
แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย
ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น
เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่ เราจึงอนุมานว่า “ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่ ” ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะข้องสังเกตหรือ ตัวอย่างที่พบว่ายังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น
