บทที่ 1
ระบบตัวเลข (Number
System)
ระบบตัวเลขที่เราได้ใช้กันมาตลอดตั้งแต่ที่เราจำความกันได้นั้น จะประกอบไปด้วยเลข 10ตัว คือ เลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ซึ่งมนุษย์เราได้ใช้ระบบการนับเหล่านี้มาใช้ในการสื่อสาร
บอกปริมาณ ขนาด ทำให้ทุกคนสามารถมีความเข้าใจตรงกันในการสื่อความหมาย
ซึ่งระบบเลขนี้คือระบบเลขฐานสิบนั่นเอง
1.1 ระบบตัวเลข (Number System)
ระบบตัวเลขในแต่ละระบบจะมีจำนวนตัวเลขโดด (Digit) เท่ากับชื่อของระบบตัวเลขฐานนั้น
ๆ ได้แก่
ระบบเลขฐานสอง (Binary number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 2 ตัว
คือ 0 และ 1
ระบบเลขฐานแปด (Octal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 8 ตัว
คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7
ระบบเลขฐานสิบ (Decimal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 10 ตัว
คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal number
system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 16 ตัว
คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F
1.2 ระบบเลขฐานสอง
ระบบเลขฐานสองได้ถูกคิดค้นขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ “GOTTFRIED WILHELM” ซึ่งใช้สัญลักษณ์เป็น 0 และ 1 เท่านั้น
ทำให้ระบบเลขฐานสองนี้เหมาะสมในการนำมาประยุกต์แทนการอธิบายการทำงานของวงจรอิเล็กทรอนิกส์สวิทชิ่ง
โดย ON จะแทน 1 และ OFF จะแทน 0
การนับเลขฐานสอง (Counting in Binary)
การนับเลขฐานสองจะมีหลักการเช่นเดียวกับการนับเลขฐานสิบ คือจะมีตัวนำและตามด้วยเลขพื้นฐาน
เช่น
เลขฐานสิบ
|
เลขฐานสอง
|
เลขฐานสิบ
|
เลขฐานสอง
|
0
|
0
|
8
|
1000
|
1
|
1
|
9
|
1001
|
2
|
10
|
10
|
1010
|
3
|
11
|
11
|
1011
|
4
|
100
|
12
|
1100
|
5
|
101
|
13
|
1101
|
6
|
110
|
14
|
1110
|
7
|
111
|
15
|
1111
|
มีข้อสังเกตคือ เลขฐานสอง 16 ตัวแรก จะเขียนด้วยตัวเลขขนาด 4 หลัก หรือ 4 บิทพอดี (bit ย่อมาจาก binary digit) และความสำคัญของตัวเลข ณ.ตำแหน่งต่าง ๆ
ก็จะมีระดับความสำคัญที่แตกต่างกันเช่นเดียวกับเลขฐานสิบ นั่นคือ
ตัวเลขที่อยู่ตำแหน่งซ้ายสุดของจำนวนเลขใด ๆ จะเป็นเลขที่มีนัยสำคัญสูงที่สุด (most significant digit (bit) ใช้ตัวย่อว่า msd หรือ msb) ส่วนตัวเลขที่อยู่ตำแหน่งขวาสุดของจำนวนเลขใด ๆ
จะเป็นเลขที่มีนัยสำคัญต่ำที่สุด (least significant digit
(bit) ใช้ตัวย่อว่า lsd หรือ lsb) และเช่นเดียวกับเลขฐานสิบเราสามาถเขียนเลขฐานสองในลักษณะเทียบค่าน้ำหนักประจำหลักได้เช่นกัน
N2 = an-1 (2)n-1 + an-2 (2)n-2 + … + a1 (2)1 + a0 (2)0
และในกรณีเป็นทศนิยมจะได้
n2 = a-1 (2)-1 + a-2 (2)-2 + … + a-(m-1) (2)-m+1 + a-m (2)-m
ฉะนั้นถ้าเลขนั้น ๆ
ประกอบไปด้วยจำนวนเต็มและทศนิยมก็จะได้
N2 = an-1 (2)n-1+ an-2 (2)n-2+…+ a1 (2)1+ a0 (2)0+ a-1 (2)-1+ a-2 (2)-2+…+ a-(m-1) (2)-m+1+ a-m (2)-m
1.3 ระบบเลขฐานแปด
ในการทำงานจริงของอิเล็กทรอนิกส์สวิทชิ่งนั้น
เราสามารถแทนได้ด้วยเลขฐานสองก็จริง
แต่ถ้าหากมีการบอกรายละเอียดเป็นขนาดจำนวนบิตต่าง ๆ ค่อนข้างมาก จะทำให้ไม่สะดวกนั้นในการที่จะใช้เลขฐานสองในการสื่อความหมาย
ข้อเสียนี้ของเลขฐานสองทำให้เราจำเป็นต้องหาระบบเลขอื่น ๆ มาใช้แทน
ซึ่งเลขฐานแปดเป็นระบบเลขระบบหนึ่งที่สามารถนำมาใช้แทนได้เป็นอย่างดี
เนื่องจากสัญลักษณ์พื้นฐานของเลขฐานแปดประกอบไปด้วยค่าต่ำสุดคือ 0 และค่าสูงสุด
คือ 7ซึ่งสอดคล้องกับ
ค่าต่ำสุดของเลขฐานสองจำนวน 3 บิต คือ 000 และค่าสูงสุดคือ 111 พอดี
ทำให้เราสามารถเปลี่ยนระหว่างเลขฐานสองและเลขฐานแปดได้สะดวก
การนับจะนวนของระบบเลขฐานแปดก็จะมีลักษณะเดียวกับเลขฐานสองและฐานสิบคือจะต้องประกอบด้วยตัวนำ
และตามด้วยตัวเลขพื้นฐาน
เลขฐานสิบ
|
เลขฐานแปด
|
เลขฐานสิบ
|
เลขฐานแปด
|
0
|
0
|
8
|
10
|
1
|
1
|
9
|
11
|
2
|
2
|
10
|
12
|
3
|
3
|
11
|
13
|
4
|
4
|
12
|
14
|
5
|
5
|
13
|
15
|
6
|
6
|
14
|
16
|
7
|
7
|
15
|
17
|
ซึ่งเขียนตามน้ำหนักประจำหลักจะได้
N8 = an-1 (8)n-1 + an-2 (8)n-2 + … + a1 (8)1 + a0 (8)0
และในกรณีเป็นทศนิยมจะได้
n8 = a-1 (8)-1 + a-2 (8)-2 + … + a-(m-1) (8)-m+1 + a-m (8)-m
ฉะนั้นถ้าเลขนั้น ๆ
ประกอบไปด้วยจำนวนเต็มและทศนิยมก็จะได้
N8 = an-1 (8)n-1+ an-2 (8)n-2+…+ a1 (8)1+ a0 (8)0+ a-1 (8)-1+ a-2 (8)-2+…+ a-(m-1) (8)-m+1+ a-m (8)-m
1.4 ระบบเลขฐานสิบ
ระบบเลขฐานสิบเป็นระบบเลขพื้นฐานที่เราใช้สื่อความหมายมาโดยตลอด
ซึ่งจะประกอบด้วยสัญลักษณ์ที่เป็นเลขโดด (Digit) จำนวน 10 ตัว คือ 0 ถึง 9 ในการเขียนเลขฐานสิบจะกระทำได้โดยการนำเลขโดด 1 ตัวมาเขียน
ซึ่งสามารถเขียนค่าต่าง ๆ เรียงตามลำดับของมัน เช่น 0, 1, 2,…, 9 ซึ่งจะเห็นว่าถ้านำเลขโดดเพียง 1 ตัวมาใช้ในการเขียนเพื่อสื่อความหมายนั้น
เลข 9 จะเป็นค่าสูงสุดแล้ว ในความเป็นจริงเราจำเป็นต้องใช้มากกว่านั้น นั่นหมายความว่าในการเขียนเลขโดยใช้เลขโดดเพียงตัวเดียวคงไม่เพียงพอ
เราจำเป็นต้องนำเลขโดดหลาย ๆ ตัวมาเขียนประกอบกันเป็นค่าตัวเลขที่เราต้องการ เลข 9 ซึ่งเป็นค่าสูงสุด
ถ้าเราสังเกตจะเห็นค่าตัวเลขที่เป็นตัวนำอยู่ คือ 0 นั่นเอง เราก็จะเห็นเป็น 09 หมายความว่าถ้าต้องการเพิ่มค่าให้มากกว่านี้อีก 1 ค่า
เราจะต้องเปลี่ยนเลขในหลักต่ำสุดคือ เลข 9 ให้เป็นเลข 0 และเปลี่ยนค่าตัวนำให้เพิ่มขึ้นอีก 1 ค่า
ซึ่งจะได้เป็น 10, 11, 12, …, 19, 20, 21, 22, …, 29, 30, 31, …,
99, 100, 101, …, 199, 200, 201, 202, …, 999, 1000, 1001, 1002, … (ลองสังเกตการเพิ่มค่าตัวเลขจากหน้าปัทม์บอกจำนวนระยะทางของรถยนต์ )
ตัวเลขโดดในการเขียนตัวเลขใด ๆ อาจจะมีค่าที่แตกต่างกัน เช่น 2000 และ 20 ตัวเลข 2 ของเลข 2 จำนวน
จะมีความหมายซึ่งไม่เหมือนกัน หมายความว่าตัวเลขที่ปรากฏ ณ.ตำแหน่งต่าง ๆ จะมีน้ำหนักที่ไม่เหมือนกัน
นั่นคือจำนวนเต็มในเลขฐานสิบ N ซึ่งมีตัวเลข n ตัว จะมีค่าเท่ากับผลบวกของสัมประสิทธิ์ตามน้ำหนัก
หาได้ดังนี้
N10 = an-1 (10)n-1 + an-2 (10)n-2 + … + a1 (10)1 + a0 (10)0
ตัวอย่างเช่น 50891 เราสามารถเขียนในลักษณะของน้ำหนักประจำตำแหน่งได้ดังนี้
50891 = 5 x 104 + 0 x 103 + 8 x 102 + 9 x 101 + 1 x 100
ถ้าเป็นจำนวนทศนิยม
เลขยกกำลังของฐานจะเริ่มตั้งแต่ –1 เป็นต้นไป
n10 = a-1 (10)-1 + a-2 (10)-2 + … + a-(m-1) (10)-m+1 + a-m (10)-m
ฉะนั้นถ้าเลขนั้น ๆ
ประกอบไปด้วยจำนวนเต็มและทศนิยมก็จะได้
N10=an-1(10)n-1+an-2(10)n-2+…+a1(10)1+a0(10)0+a-1(10)-1+a-2(10)-2+…+a-(m-1)(10)-m+1+a-m(10)-m
1.5 ระบบเลขฐานสิบหก
ระบบเลขฐานสิบหกมีลักษณะคล้ายเลขฐานแปด โดยค่าต่ำสุดของเลขฐานสิบหก
คือ 0 จะมีค่าเท่ากับค่าต่ำสุดของเลขฐานสอง 4 บิต คือ 0000 และโดยค่าสูงสุดของเลขฐานสิบหก คือ F จะมีค่าเท่ากับค่าสูงสุดของเลขฐานสอง 4 บิต
คือ 1111ทำให้ระบบเลขฐานสิบหกจึงเป็นอีกระบบหนึ่งที่นิยมใช้แทนการ
กล่าวถึงเลขฐานสอง
และปัจจุบันจะเป็นที่นิยมใช้เลขฐานสิบหกมากกว่าเลขฐานแปด
เลขฐานสิบ
|
เลขฐานสิบหก
|
เลขฐานสิบ
|
เลขฐานสิบหก
|
0
|
0
|
8
|
8
|
1
|
1
|
9
|
9
|
2
|
2
|
10
|
A
|
3
|
3
|
11
|
B
|
4
|
4
|
12
|
C
|
5
|
5
|
13
|
D
|
6
|
6
|
14
|
E
|
7
|
7
|
15
|
F
|
เลขฐานสิบหก N16 ซึ่งมีจำนวนเต็ม n หลัก จำนวนทศนิยม m หลัก จะมีค่าดังสมการ
N16 = an-1(16)n-1+an-2(16)n-2+…+a1(16)1+a0(16)0+a-1(16)-1+a-2(16)-2+…+
a-(m-1)(16)-m+1+ a-m(8)-m
ขอบคุณข้อมูลจาก
ระบบตัวเลขในแต่ละระบบจะมีจำนวนตัวเลขโดด (Digit) เท่ากับชื่อของระบบตัวเลขฐานนั้น ได้แก่
ตอบลบระบบเลขฐานสอง (Binarynumbersystem) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 2 ตัว คือ 0 และ 1ระบบเลขฐานสอง ได้ถูกคิดค้นขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ “GOTTFRIED WILHELM” ซึ่งใช้สัญลักษณ์เป็น 0 และ 1 เท่านั้น ทำให้ระบบเลขฐานสองนี้เหมาะสมในการนำมาประยุกต์แทนการอธิบายการทำงานของวงจรอิเล็กทรอนิกส์สวิทชิ่ง โดย ON จะแทน 1 และ OFF จะแทน 0
ระบบเลขฐานแปด (Octal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 พื้นฐานของเลขฐานแปดประกอบไปด้วยค่าต่ำสุดคือ 0 และค่าสูงสุด คือ 7
ระบบเลขฐานสิบ (Decimal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ระบบเลขฐานสิบเป็นระบบเลขพื้นฐานที่เราใช้สื่อความหมายมาโดยตลอด ในการเขียนเลขฐานสิบจะกระทำได้โดยการนำเลขโดด 1 ตัวมาเขียน ซึ่งสามารถเขียนค่าต่าง ๆ เรียงตามลำดับของมัน เช่น 0, 1, 2,…, 9
ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal number system) จะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F ระบบเลขฐานสิบหกมีลักษณะคล้ายเลขฐานแปด โดยค่าต่ำสุดของเลขฐานสิบหก คือ 0 และค่าสูงสุดของเลขฐานสิบหก คือ F
สรุปโดย นางสาวเก็จมณี ชำนาญยิ่ง ชั้นม. 3/7 เลขที่ 10
ระบบเลขฐานประกอบด้วยเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 เลขฐาน 10 เลขฐาน 16
ตอบลบการแปลงค่าเลขฐาน
1. การแปลงค่าเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก สามารถคำนวณได้จาก การหารสั้นด้วยเลขฐานที่ต้องการแปลงค่า แล้วนำผลลัพธ์และเศษที่ได้มาเรียงต่อกันจากล่างขึ้นบน
2. การแปลงเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสิบ สามารถคำนวณได้ จากการนำเลขฐานที่ต้องการแปลงในหลักนั้นมาคูณกับค่าประจำหลักของฐาน แล้วนำแต่ละหลักมารวมกัน
3. การแปลงค่าเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปด สามารถคำนวณได้จากการแบ่งกลุ่มเลขฐานสอง
กลุ่มละสามหลัก จากด้านขวาไปด้านซ้ายแล้วแปลงเลขฐานสองแต่ละกลุ่มให้เป็นเลขฐานสิบ จากนั้นจึงนำตัวเลข
ที่ได้มาเรียงต่อกัน ซึ่งการแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบนั้นสามารถคำนวณได้จากข้อ 2 หรือเทียบจากตารางเลขฐาน
4. การแปลงค่าเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบหก สามารถคำนวณได้จากการแบ่งกลุ่มเลขฐานสอง กลุ่มละสี่หลักจากด้านขวาไปด้านซ้าย แล้วแปลงเลขฐานสองแต่ละกลุ่มให้เป็นเลขฐานสิบ จากนั้นนำตัวเลขที่ได้มาเรียงต่อกัน
5. การแปลงค่าเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสอง สามารถคำนวณได้จากการแบ่งเลขฐานแปดทีละหลัก แปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองสามหลักด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน หากเลขฐานสองนั้นมีไม่ถึงสามหลัก ให้เติม 0 ด้านหน้าของหลักนั้น แล้วจึงนำค่าที่ได้มาเรียงต่อกัน
6. การแปลงค่าเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหก สามารถคำนวณได้จากการบ่งเลขฐานแปดทีละหลัก แปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน แล้วนำเลขฐานสองที่ได้แปลงให้เป็นเลขฐานสิบหกอีกครั้งหนึ่ง
7. การแปลงค่าเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง สามารถคำนวณได้จากการแบ่งเลขฐานสิบหกทีละหลัก แปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสองสี่หลักด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน หากเลขฐานสองนั้นมีไม่ถึงสี่หลัก ให้เติม 0 ด้านหน้าของหลักนั้นแล้วจึงนำค่าที่ได้มาเรียงต่อกัน
8. การแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานแปด สามารถคำนวณได้จากการแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็น เลขฐานสอง แล้วแปลงจากเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปดอีกครั้งหนึ่ง
สรุปโดย เด็กหญิง ณัฏฐริกาวรรณ เถาหอม ม3/7 เลขที่11